Nilai \( a \) yang memenuhi persamaan \( \frac{1}{ {}^{10} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{\sqrt{10}} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{ \sqrt{ \sqrt{10} } } \! \log a } + \cdots = 200 \) adalah…
- \( \frac{1}{100} \)
- \( \frac{1}{10} \)
- \( \sqrt{10} \)
- \( 10^{\frac{1}{100}} \)
- \( 10^{\frac{1}{10}} \)
Pembahasan:
Ingat sifat logaritma berikut:
\begin{aligned} \frac{1}{{}^a \! \log b} &= {}^b \! \log a \\[8pt] {}^a \! \log b + {}^a \! \log c &= {}^a \! \log bc \end{aligned}
Berdasarkan sifat logaritma di atas, kita peroleh berikut:
\begin{aligned} \frac{1}{ {}^{10} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{\sqrt{10}} \! \log a } + \frac{1}{ {}^{ \sqrt{ \sqrt{10} } } \! \log a } + \cdots &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log 10 + {}^a \! \log \sqrt{10} + {}^a \! \log \sqrt{ \sqrt{10} } + \cdots &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10 \cdot \sqrt{10} + \sqrt{ \sqrt{10} } + \cdots \right) &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots} \right) &= 200 \end{aligned}
Perhatikan bahwa \( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots \) merupakan deret geometri tak hingga dengan \(a = 1\) dan \(r = \frac{1}{2}\) sehingga:
\begin{aligned} S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{2}} &= 2 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots} \right) &= 200 \\[8pt] {}^a \! \log \left( 10^2 \right) &= 200 \\[8pt] a^{200} &= 10^2 \\[8pt] a &= (10^2)^{\frac{1}{200}} \\[8pt] &= 10^{\frac{1}{100}} \end{aligned}
Jadi, nilai \(a\) yang memenuhi persamaan tersebut adalah \( 10^{ \frac{1}{100} } \).
Jawaban D.